9 Kugeln

shooga 14.11.03 16:19

Auf einem Tisch liegen 9 Kugeln. Eine davon ist schwerer als die anderen 8. Dazu bekommt man eine Waage mit zwei Waagschalen. Wie kann man in nur zwei Wiegevorgängen die schwerere Kugel identifizieren?

  1. TobiAdminLive 30.10.13 16:38

    Hallo zusammen,
    da dieser Wiege-Bainteaser etwas in die Jahre gekommen ist, hier ein kleines Add-On aus der HR-Abteilung einer Versicherung.

    Es kommt eine "normale" Kugel hinzu. Euch stehen aber wie bisher nur 2 Wiege-Durchgänge zur Verfügung.

    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die schwere Kugel zu identifizieren?

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  2. age_akp 22.11.13 14:06

    Ich glaube nach dieser großen Diskussion kommen wir zu dem Schluss, dass die Lösung von Benjamin richtig ist, oder?

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  3. Squeaker 1 22.11.13 14:40

    Hm, ich bin noch nicht 100 Prozent überzeugt....bastel noch ein bisschen. Anonym 2, ist die Antwort richtig??

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  4. age_akp 22.11.13 13:00

    Mit dieser Aufteilung wäre dann ein beispielhafter Wiegedurchgang:
    1. 2 vs 2 vs 2 Kugeln (6er Gruppe)
    2. 1 vs 1 Kugeln (6er Gruppe)

    Dann bist du fertig und weißt zur Not nur, dass die schwere Kugeln nicht in der 6er Gruppe, sondern in der 4er Gruppe war.

    Ich glaube es gibt da noch eine Lösung, die zu einer höheren Wahrscheinlichkeit führt, d.h. die Unterteilung in 3 Gruppen.

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  5. Anonym 22.11.13 13:16

    Der erste Wiege-Vorgang ist aber 3 zu 3. Somit weißt du sofort, ob die schwere Kugel in der 6er Gruppe ist. Falls nicht, hast du noch einen Zug für die 4er Gruppe. Falls eine Seite des 3zu3 Durchgangs absinkt, wiegst du aus dieser Gruppe 1zu1 und ermittelst somit die schwere.

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  6. age_akp 22.11.13 13:18

    Du weißt schon, dass wir nur 2 Wiegegänge haben. Dein Vorgehen erfordert aber 4.
    Die einzige Chance die 6er Gruppe in 2 Durchgängen zu wiegen, ist die Unterteilung in 2er Gruppen.

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  7. Anonym 22.11.13 14:18

    Oh, sassy...
    Benjamin hat die Züge schon richtig.
    Die 6er Gruppe wird im ersten Zug in 2 3er geteilt. Zug 1: 3 gegen 3. Zug 2: 1 gegen 1. In beiden Fällen gilt: wenn schwerer, bleib bei der schwereren (Kugel oder Gruppe) wenn gleich, ist es die (Kugel oder Gruppe) die nicht gewogen wird. Exact wie beim ausgangsbeisiel mi 9 Kugeln.

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  8. bender 22.11.13 12:41

    Jap, stimme zu. Revidiere auch meine 91.67% von Gestern Abend (Kehrwert geht nicht).

    Eine alternative Antwort wäre 40%. Jemand in dem Team ;)

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  9. Anonym 22.11.13 12:48

    Wie wäre denn der Rechenweg zu 40%?

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  10. age_akp 19.11.13 14:47

    50/50 ;-)

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  11. TobiAdminLive 21.11.13 09:25

    Durchgefallen. Klingt mir eher nach einer lustigen Schätzung aus dem Bauch raus.

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  12. age_akp 21.11.13 10:29

    Wie ist dein Lösungsvorschlag? Ich komm nämlich auch auf eine Wahrscheinlichkeit von 50%, dass man die schwere Kugel identifizieren kann.

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  13. Anonym 21.11.13 17:57

    91,67%

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  14. age_akp 21.11.13 22:08

    Das ist vermutlich die Gesamtwahrscheinlichkeit, oder? Wird nicht eigentlich die Wahrscheinlichkeit gefragt, mit der du die schwere Kugel nach dem zweiten Wiegen identifizieren kannst?

    Falls nicht, wie kommst du auf die 91,67%? Rechenweg bitte. Danke ;-)

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  15. MelesMeles 14.11.03 18:28

    Also...
    1) 3 Kugeln in die eine Wagschaale, 3 Kugeln in die andere und die verbelibenden 3 werden nicht gewogen.
    Ergebnis: bei ausgeglichener Waage befindet sich die Kugel unter den 3 Kugeln, die nicht gewogen wurden. Neigt sich die Waage zu einer Seite, ist die schwerere Kugel logischerweise in der entsprechenden Waagschale.
    2) Egal wie, es bleiben 3 Kugeln übrig unter denen sich die schwerere befinden muß. Gleiches Spiel... jeweils eine Kugel links, eine rechts und eine nicht wiegen.
    Ergebnis: Neigt sich die Waage, ist die schwere Kugel gefunden, ist das nicht der Fall, ist die nicht gewogene Kugel, die schwerere.
    Spieltheorie 1. Semester?

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  16. lena6 14.11.03 18:59

    spieltheorie? was versteht denn herr schlau zb. unter einem nash-gleichgewicht in diesem zusammenhang?

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  17. Net... 15.11.03 19:33

    Tja, also mit Spieltheorie hat es wohl nichts zu tun. Aber der Weg ist dennoch okay...man könnte auch mit 4 Kugeln je Schale anfangen, dann erwischt man in jedem Fall die schwere Kugel auf der einen Seite oder halt "außen" ;-).

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  18. McDuffy 17.11.03 14:40

    Mit 4 Kugeln auf jeder Seite anzufangen ist nicht so gut, da man sonst ggf. 3 Versuche braucht - wenn man die Kugeln jedoch in 3er Gruppen aufteilt, hat man die richtige auf jeden Fall schon nach dem zweiten Wiegen ermittelt, was somit die optimale Lösung darstellt.

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  19. Net... 19.11.03 01:30

    Hast Recht ;-)

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  20. Kar... 17.12.03 17:27

    Hi! Ich kenne die Aufgabe unter erschwerten Bedingungen: man weiss nur, dass eine Kugel dabei ist, die unterschiedlich ist. D.h. sie kann schwerer oder leichter sein. Damit wird die Loesung nicht mehr so trivial, aber trotzdem noch loesbar in max. 3 Zuegen.

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  21. tom... 23.06.04 14:38

    Die Aufgabe lautet: 12 Kugeln, eine ist schwerer ODER leichter. Drei Wiegevorgänge welche es ist mit der Info ob leichter oder schwerer.
    Habe einen Tag und eine Nacht daran gearbeitet.
    Alles GUte
    Tom

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  22. Anonym 22.11.13 10:25

    Die Frage ist "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Wiegevorgängen die schwere Kugel zu ermitteln. Bei der ersten Variante der Frage in diesem Thread sind es 100%, jetzt etwas weniger weil man es durch die vierte nicht mit absoluter sicherheit ermitteln kann.
    Ich korrigiere mich selber aber nochmal auf 93% (93,068).

    Der Rechenweg ist folgend:
    Wir nehmen drei Gruppen zu 3/3/4 Kugeln.
    Wiegen 3 gegen 3. Wenn dort eine Seite schwerer ist, können wir 100%ig im zweiten Schritt die schwere Kugel finden (siehe originale Frage). Das sind also jeweils 30% Wahrscheinlichkeit, 100%ig richtig zu liegen.
    Jetzt haben wir in der ersten Wiegung aber noch eine 40%ige Wahrscheinlichkeit, dass die schwere Kugel in der vierergruppe ist.
    Um die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Wiegung zu erhöhen, gibts nen Trick. (Die normale Wahrscheinlichkeit wäre 50%). Man wiegt zwei gegen zwei Kugeln, tauscht aber eine aus mit einer der Kugel die in ner dreiergruppe waren, also normalgewicht haben.
    oo/xo + o auf Seite
    Wenn links schwerer ist, ist die Endwahrscheinlichkeit wieder 50%.
    Wenn rechts schwerer ist, hat man ne 100%ige sicherheit (dass es die ist, die nicht ausgetauscht wurde), wenn beide gleich schwer sind, ist die schwere die, die man zur Seite gelegt hat.

    Wir haben also:
    100% x 3/10
    +
    100% x 3/10
    +
    40% x 0.8267 (33+33+16,67)
    =
    93,068%

    Im letzten Schritt könnte ich mich rechnerisch verlaufen haben, aber das Prinzip sollte stimmen.

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  23. age_akp 22.11.13 11:12

    Hmm, also der Weg hört sich nicht schlecht an, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob du mit deine Wahrscheinlichkeiten richtig liegst.
    Du unterteilst die 10 Kugeln in drei Gruppen, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die schwere Kugel in der ersten der drei Gruppen ist, ist 1/3, d.h. 33,33%.
    Wie kommst du auf die 40% im ersten Durchgang?
    Man betrachtet doch die Tatsache, ob die Kugel in der Gruppe ist, unabhängig von der Anzahl der Kugeln in der Gruppe.

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  24. Anonym 22.11.13 12:33

    Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit 2 Wiege-Durchgängen die schwere Kugel ermitteln kann beträgt 80%.

    Man teilt die 10 Kugeln in zwei Gruppen auf, je 6 und 4 Kugeln.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass die schwere Kugel in der 6er Gruppe ist liegt bei 0,6. Aus den 6 Kugeln kann man mit 2 Wiege-Durchgängen definitiv die schwere Kugel ermitteln, somit beträgt die Wahrscheinlichkeit der korrekten Ermittlung der schweren Kugel auf diesem Pfad 0,6.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass die schwere Kugel in der 4er Gruppe ist liegt bei 0,4. Nach dem erfolgten 3 gegen 3 Wiegen der 6er Gruppe kann man aus den 4 Kugeln 2 Kugeln miteinander vergleichen. Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem Durchgang die schwere Kugel zu ermitteln liegt bei 0,5 (entweder sie ist bei den zwei Kugeln, die gewogen werden oder bei den verbleibenden 2 Kugeln). Die Wahrscheinlichkeit, durch Raten die schwere Kugel aus den verbleibenden zweien zu ermitteln bleibt unberücksichtigt, da die Frage das direkte Wiegen zur Ermittlung verlangt.

    Somit ergibt sich:

    0,6+0,5*0,4=0,8

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  25. Anonym 22.11.13 14:23

    Zur 1. Frage: 30%, nicht 1/3.
    Die Wahrscheinlichkeit dass die Kugel in der Gruppe aus 4 Kugeln ist, ist 40%, da es die Auswahl aus 4 von 10 Kugeln ist. Das sind die Wahrscheinlichkeiten im ersten Schritt.
    Den Rest der rechnung habe ich trotzdem Falsch. Da leigt Benjamin richtig, also sind es 80%.

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