Budgeterhöhung
kat...
06.07.04 14:28
Es handelt sich wahrscheinlich um eine ganz einfache Matheaufgabe und Ihr werdet mich für verrückt halten, dass ich sie überhaupt hier poste, aber ich komm gerade einfach nicht drauf...also:
Ihr Budget beträgt z. Zt. 1.300.000 €. Für die 3 Folgejahre steht Ihnen ein Gesamtbudget von 4.500.000€ zur Verfügung und sie wollen, dass sich das Budget in jedem Jahr um den gleichen Prozentsatz zum vorangegangenen Jahr erhöht. Wie ist das Budget jeweils in den 3 Jahren und um welchen Prozentsatz erhöht es sich jedes Jahr?
Ideen??
17 Kommentare zu »Budgeterhöhung« Jetzt alle Antworten anzeigen
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Hallo Katgirl,
Budget(jetzt)=B0
der Prozentsatz der Erhoehung bleibt gleich= P
(P ist in Hunderstel- fuer 50% Erhoehung - P=0.5, fuer 1% - P=0.01)
-
1.Jahr: B1=(1+P)*B0
2. Jahr: B2=(1+P)*B1=(1+P)^2*B0
3. Jahr: B3=(1+P)*B2=(1+P)^3=B0
B1+B2+B3=B0*(1+P + (1+P)^2 + (1+P)^3 )= 4500
Jetzt musst Du nur noch alles ausmultiplizieren, dann hast Du P und mit P kennst Du auch das jeweilige Jahresbudget.
hth, falls unklar, frag bitte,
Clara -
Hallo Katgirl,
Budget(jetzt)=B0
der Prozentsatz der Erhoehung bleibt gleich= P
(P ist in Hunderstel- fuer 50% Erhoehung - P=0.5, fuer 1% - P=0.01)
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1.Jahr: B1=(1+P)*B0
2. Jahr: B2=(1+P)*B1=(1+P)^2*B0
3. Jahr: B3=(1+P)*B2=(1+P)^3=B0
B1+B2+B3=B0*(1+P + (1+P)^2 + (1+P)^3 )= 4500
Jetzt musst Du nur noch alles ausmultiplizieren, dann hast Du P und mit P kennst Du auch das jeweilige Jahresbudget.
hth, falls unklar, frag bitte,
Clara -
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mac...
06.07.04 18:36
Ich habe ein Verstaendnisproblem, schreibe daher beide "Varianten" hin:
1) Budget in t0 entspricht 1,3. Budget in t3 entspricht dann 1,3+4,5=5,8.
2) Budget in t0 entspricht 1,3. Budget in t3 entspricht 4,5.
//
In jedem Fall gilt:
Wachstumsrate=(4500000/1300000)^(1/3)-1
In Fall 1) kannst Du 4500000 durch 5800000 ersetzen.
Ergebnisse:
Fall 1) 62,6%
Fall 2) 51,3%
Diese Rechnung nennt man CAGR (Compound Annual Growth Rate) und wird von jeder Beratung immer wieder verwandt. Warum auch immer... -
Hallo macb3th,
sie schreibt, dass das *Gesamtbudget* fuer die naechsten drei Jahre 4500 Euro betraegt.
Du nimmst hier an, dass das Endbudget fuer Jahr 3=4500 Euro ist (oder 5800).
Ist nicht ganz das gleiche. Oder?
Clara -
Wie Du auf 5800 kommst, verstehe ich nicht, ehrlich gesagt.
Budget(Jahr1)+Budget(Jahr2)+Budget(Jahr3)=4500
Du hast: Budget(Jahr3)=4500
Schau Dir vielleicht nochmal meine Rechnung oben an- das ist genau dasselbe wie CAGR (was ja im Prinzip auch nur Prozentrechnung ist), mit dem Unterschied, dass man nur Gesamtbudget und nicht Endbudget gegeben hat.
Macht es das etwas klarer?
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Folgende Formel muss angewendet werden :
1,3 mio * KeF( i , 3 Jahre ) = 5,8 mio
Der hier verwendete Kapitalendwertfaktor KeF ist für die Perioden 0..n definiert und hat nachstehende Formel. Das Aussehen dieser Formel würde sich ändern, wenn man erst ab Periode 1 aufsummiert. Die Herleitung entspricht aber im Wesentlichen der Darstellung von Clarabella's Beitrag, lediglich der Term mit den (1+P) wird als geometrische Reihe zusammengefasst und weiter vereinfacht.
KeF( Zins , Laufzeit ) = ( (1 + Zins) ^ (Laufzeit +1) - 1 ) / Zins
Das Gesamtbudget von 5,8 mio ergibt sich als Endwert der Zahlungsreihe, wenn man erkennt, daß die 1,3 mio einer Zahlung der nullten Periode (=A0) entspricht und einen KeF anwendet, dessen Zahlungsreihe mit der nullten Periode beginnt.
Die Auflösung der obigen Gleichung kann man aber nicht durch ausmultiplizieren erreichen, sondern nur durch Interpolation :
Kef ( 7% , 3 J ) = 4,4399
Kef ( 8% , 3 J ) = 4,5061
Kef ( gesucht , 3 J ) = 4,4615 ( =5,8 mio/1,3 mio )
Durch den Strahlensatz ergibt sich :
KeF ( 7.32628% , 3 J ) = 4,4615
Ergebnis : Das Budget wächst jährlich um 7,3 %
Probe :
1,3 mio + 1,39 mio + 1,49 mio + 1,60 mio = 5,78 mio (kommt ungefäHR hin)
PS: Die Idee von macb3th war sehr gut, nur leider war das Budget in der dritten Periode (=1,6mio) nicht gegeben, sondern nur das GESAMTbudget der Perioden 1+2+3 . Die 4,5 mio sind die SUMME der Perioden 1 bis 3 .
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Ich weiss nicht, wie interessant das jetzt noch ist, aber es laesst sich schon analytisch loesen:
Ausmultiplizieren produziert eine Gleichung dritten Grades, die sind wiederum loesbar.
Die Formeln sind zwar etwas unschoen, bringen aber eine aehnliche Loesung hervor (7.27 %).
Mit Mathematica macht es deutlich mehr Spass...
Clara, die jetzt auch STILL ist -
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kat...
08.07.04 12:33
Hallo zusammen,
vielen Dank für all Eure Beiträge! Das Ergebnis scheint wohl auf 7.32% hinaus zu laufen, was sich sowohl durch Eingabe von Carabella`s Gleichungen in mathematica (wie du mir über Qucikmessage geschrieben hattest) ergibt (reale Lösung = 0.0732!) als auch durch die BWLer Herangehensweise vom Gewürzhändler, welche mir persönlich noch etwas einfacher erscheint. Gewürzhändler, könntest du für einen Mathelaien vielleicht nur noch kurz erklären, wie man den Strahlensatz errechnet und damit von den beiden Annäherungswerten auf die Endlösung kommt? Der Rest ist absolut nachvollziehbar. Danke schön! -
also das sollte der gewürzhändler bitte nicht tun.
gewürzhändlers strahlensatz ist nichts anderes als lineare interpolation. die zu interpolierende funktion ist aber nichtlinear, deswegen bekommt er nur eine näherungslösung, wobei die genauigkeit von den höheren ableitungen der kurve am lösungspunkt abhängt. deswegen: wenn schon numerisch, dann zwecks grösserer genauigkeit ein bisection algorithmus (ähnlich idiotensicher wie der strahlensatz, es spricht also nichts dagegen auch bwler damit zu bemühen). -
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cer...
08.07.04 12:57
Hallo!
Finde alle Lösungen hier sehr interessant, auch wenn ich bei einigen Details noch nicht so durchsteige.
Eine Frage mal an alle: Mehrfach wurde die Abkürzung "KeF" benutzt. Als noch-nicht-Student kenn ich die nicht, was sagt mir die?
Hat jemand einen sinnvollen Teiler für die Gleichung 3. Grades von Clarabella? (schööööner Ansatz!!)
Danke! -
Da sind wohl noch ein paar Fragen aufgetaucht ... Ich geh die mal der Reihe nach durch :
@cerberus
KeF ist der "Kapitalendwertfaktor" , also jener Faktor , der dir berechnet, wieviel dein Kapital am Ende wert ist und zwar inklusive aller Zinsen oder Wachstumsraten. Der wird auch als Aufzinsungssummenfaktor ASF oder aufgezinster Kapitalwert ACo oder Financial Value FV oder sonstwie bezeichnet. Er beschreibt, wieviel am Ende raus kommt, wenn du eine jährliche Zahlung vornimmst, die auch jährlich verzinst wird. Und eine Budgeterhöhung wirkt genauso wie ein Sparbuch, bei dem zu den jährlichen Einzahlungen immer noch die Zinsen des Vorjahres dazukommen (die Einzahlungen steigen also jährlich an).
(PS: Viel Spass im Studium )
@Katgirl
Aus der ersten Gleichung 1,3 mio * KeF = 5,8 mio wissen wir, welchen Wert der KeF haben muß, nämlich KeF = 5.8/1.3 = 4.46. Wir wissen aber leider nicht, für welchen Zinssatz der KeF den Wert 4.46 annimmt. Die Aufgabe lautet also : Suche das x für KeF(x) = 4.4615 . Der promovierte Physiker würde nun anfangen, das rechnerisch aufzulösen :
KeF(x) = 4.46
= ((1+x) ^(n+1) - 1 ) /x = 4.46
= ((1+x) ^4 -1 ) /x = 4.46
= (1+x) ^4 = 4.46 * x + 1 tja und nun ?
Wir probieren stattdessen ein bisschen rum und stellen fest, dass der KeF bei 7% und 8% ähnliche Werte annimmt wie 4.46. Das x muss also irgentwo in diesem Bereich liegen. Jetzt legt man da einfach eine Gerade hinein, die durch drei Punkte geht , nämlich (7% , 4.43) (x% , 4.46) und (8% , 4.50) .
Und nun kann man das x mit dem Strahlensatz aus der 7.Klasse des Gymnasiums bestimmen : Das Verhältnis von x zu der Strecke 7% bis 8% verhält sich genauso wie der Wert 4.46 zu der Strecke 4.43 bis 4.5 und das schreibt sich formal so :
( x - 7%) / (8% - 7%) = ( 4.4615 - 4.4399) / (4.5061- 4.4399)
Dies ist die Aussage des Strahlensatzes, es ist eine Gleichung mit einer Variablen und lauter Konstanten, kann also problemlos aufgelöst werden. Wenn man das ausrechnet, kommt da x= 7.32% raus, und schon wissen wir , daß KeF(7.32%) = 4.46 ist. Diesen kleinen Kunstgriff kann man immer anwenden, wenn eine Funktion sehr kompliziert und schwer aufzulösen ist. Anschaulich gesprochen, wenn 4.46 genau 32% (=rechte Seite ausrechnen) der Strecke von 4,43 nach 4,5 zurückgelegt hat, dann muss auch x genau 32% der Strecke von 7 bis 8 zurücklegen.
@annapelz
Also wenn ich die Probe mal mit den genauen 7,32628% mache, die ich bei der linearen Interpolation raushatte, dann komme ich auf einen Endwert, der ca. 128 Euro unter den 5.8 Millionen Euro Gesamtbudget liegt und das ist eine Abweichung, mit der man gerade noch leben kann. In der BWL stellt man eigentlich immer wieder fest, daß man mit solchen Bauernregeln doch zu extrem guten Ergebnissen kommt und daß irgentwelche okkulten Algorithmen oft nur eine unwesentliche Verbesserung der Gesamtaussage bewirken. Lineare Approximationen werden in ihrem Wert oft unterschätzt.
@Clara:
Gleichungen dritten Grades sind Teufelszeug :-)
Bei Zahlungsreihen mit 40 Jahren und mehr wird das äußerst unangenehm, das per Hand auszurechnen. Dieser Interpolationstrick ist zwar nicht ganz präzise, aber er funktioniert auch dann immer noch. Aber wer sich daran erinnert, daß es im 1.Semester mal so eine Summenformel für Potenzreihen gab, der kann deinen Term mit den (1+P) auch geschickt zu einem geschlossenen Ausdruck zusammenfassen und so die KeF-Formel von oben herleiten.
x^0 + x^1 + x^2 + .... + x^n = (1- x^(n+1)) / (1-x) "geometrische Reihe"
Dadurch wird das Ausmultiplizieren allerdings nicht wesentlich einfacher ...
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