Geh aufs Ganze!

robbiboe 28.07.04 13:00

drei Tore - ein Gewinn
wir alle kennen die schoene Spielshow. ihr habt drei tore zur auswahl. hinter einem ist eine mio euro, hinter den anderen beiden der zonk! ihr waehlt eines aus. bevor ihr dieses tor oeffnen koennt, sagt der Joerg: STOP! und oeffnet ein tor, von dem er genau weiss, dass dieses ein leeres ist! Jetzt bleibt also ein leeres und eines mit gewinn uebrig. Frage: Beeinflust es deine Gewinnchance jetzt von deinem zuerst gewaehlten zu wechseln, oder nicht? Kostet Wochen der Ueberzeugung die Loesung zu erklaeren, glaub aber an euch!!!!

  1. sclper 28.07.04 13:19

    Dieses Ding scheint über Jahre nichts an Attraktivität einzubüssen...
    Du könntest hier im Forum suchen, aber der Einfachheit halber:
    Wenn man nicht wechselt beträgt die Chance auf einen Gewinn bei 1/3.
    Wechselt man, ist sie 2/3, da es drei Wechselmöglichkeiten gibt und man durch das Aufdecken des einen Zonks von der verbleibenden Niete zum Gewinn geführt wird. Es gibt also nur eine Möglichkeit zu verliehen (vom Gewinn auf den verbleibenen Zonk wechseln) aber 2 Gewinnmöglichkeiten (vom Zonk - welcher auch immer übriggeblieben ist - zum gewinn)

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  2. robbiboe 29.07.04 04:21

    Hey Sc@lper,

    I'm sorry for Trash. Danke trotzdem fuer die Antwort...Werd mir dann heute mal Zeit nehmen muessen und im Forum stoebern!

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  3. cer... 29.07.04 16:07

    Also eines verstehe ich bei der Argumentation jetzt nicht:
    Beim 1. Durchgang hatte ich 1/3 Chance, also p=1/3. Jetzt wird n von 3 auf 2 reduziert, jedoch mit der absoluten Gewissheit, dass nur eine Niete entfernt wird. Jetzt ergiebt sich eine neue Ausgangsituation: es gilt zwischen richtig oder falsch zu wählen, mit p=0,5. Da jedoch beim ersten Durchgang eine Niete im Nachhinein sowieso entfernt worden ist, ändert es nichts an der Wahrscheinlichkeit, ob ich jetzt NACH dem Entfernen, also im ZWEITEN Durchgang, meine Wahl ändere oder nicht, da p=0,5 bleibt, in BEIDEN Fällen.
    Außerdem: selbst wenn es nicht beides mal p=0,5 wäre, wären durch die Änderung nach dem 1. Durchgang und die damit neue Ausgangssituation beide Prozesse isoliert zu betrachten.
    Stimmts oder nicht?

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  4. Anonym 30.07.04 10:56

    Kann dich absolut verstehen, hoere die Argumentation des isoliert Betrachtens auch jedes Mal wenn ich mir wieder ein Opfer fuer diesen Teaser gesucht habe. ;-)
    Wir haben aber folgende Situation: Du hast eine Karte der zwei verbliebenen gewaehlt. Diese Wahl kommt aus dem ersten Wahlgang.logisch, woher sonst. Da du vorher eine 1/3 Chance hattest richtig zu tippen hattest du natuerlich auch eine 2/3 Chance falsch zu tippen. Deswegen gehe ich im Folgenden davon aus, dass du - nachdem die eine Karte weggenommen worden ist - mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit eine der zwei falschen Karten hast. Wenn du das Spiel jetzt beendest und die Karte aufdeckst die du gewaehlt hast ist es wie eine Wahl aus 3 Karten. Wie oben besprochen. Bei unendlicher Wiederholrate hast du also in 2/3 aller Faelle (die ueberwiegende Mehrzahl also) eine falsche Karte nach dem ersten Mal gewaehlt. Hier koennte man also folglich schon aufhoeren zu argumentieren. Wollen wir aber nicht. Wir gehen also davon aus, dass du eine der falschen Karten hast, da die Wahrscheinlichkeit eben sehr hoch ist. Die andere, von dir nicht gewaehlte falsche Karte wird jetzt weggenommen. Du bleibst bei deiner Wahl? Gut. Du hast mit 2/3 Chance die Falsche in der Hand, da du diese aus dem ersten Wahlgang hast. Du wechselst auf die andere. Gut. Deiner Argumentation nach hast du jetzt also eine 50/50 Chance die du nutzen kannst um RICHTIG zu liegen. Dem ist aber wie oben gezeigt nicht so, da die Karte die du gewaehlt hast im ersten Durchgang mit 2/3 Chance falsch ist.
    Stell dir das mit mehr Karten vor:

    Du hast 10.000 Karten. 9.999 Nieten, 1 Gewinn . Beim ersten Waehlen hast du eine 9.999:10.000 Chance falsch zu liegen. Du waehlst also eine Karte, die zu 99,99 % falsch ist. Jetzt sagst du, dass du eine 50/50 Chance hast, nachdem ALLE anderen Karten, ausser deine gewaehlte und der Gewinn, weggeraeumt worden sind. ? . Wirklich?
    Bleib bei deiner ersten Wahl und du bist in 99,99% der Wahlen falsch. Wechsel auf die andere und du bist in 99,99% deiner Wahlen richtig.

    Der Schluessel zum Verstaendnis liegt nicht darin, wie gut man richtig liegen kann nach dem ersten Wahlgang, sondern wie sehr man falsch liegen kann nach dem ersten Wahlgang.

    Alles klar?

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  5. Anonym 26.08.04 15:20

    Traue keiner Statistik, die Du nicht selbst gefälscht hast...
    Tatsache ist, dass man gar keine Möglichkeit hat, keine Wahl zu treffen, außer das Spiel abzubrechen. Indem ich meine Wahl nicht verändere, treffe ich auch eine Wahl; nur ist es die Gleiche, wie schon zuvor. Und in jedem Wahlgang hat jedes der Tore, jede der Karten, jede Option exakt die gleiche Chance. Das wird in keiner Weise durch meine Wahl beeinflusst!

    Diese Pseudo-Beweisführung hinkt nicht nur, sie ist schlichtweg falsch!!! Sorry...

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  6. _kg... 03.02.08 15:50

    "Der Schluessel zum Verstaendnis liegt nicht darin, wie gut man richtig liegen kann nach dem ersten Wahlgang, sondern wie sehr man falsch liegen kann nach dem ersten Wahlgang." Hm.
    Die Wahrscheinlichkeit, richtig zu liegen ist immer (1-Wahrscheinlichkeit, falsch zu liegen). Es ist also egal, welche Seite man betrachtet. Tatsaechlich ist es entscheidend, dass alle Karten von vornherein gleichwahrscheinlich sind. Dies aendert sich nicht mit der Eliminierung einer Alternative. Sicher ist dann nur, dass der Gewinn hinter einer der beiden verbleibenden Karten steckt, was deren Gewinnwahrscheinlichkeit auf jeweils 50% erhoeht.
    Die Gewinnchancen verschiedener Karten koennten nur unterschiedlich sein, wenn die Aktion des Moderators durch die Erstwahl der Spielenden bedingt waere. Ist sie aber nicht.
    Uebrigens: das Ganze kann man sehr einfach als Experiment programmieren, um empirisch festzustellen, dass dieser Brainteaser Unsinn ist.

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  7. gem... 03.09.04 23:14

    Geh aufs Ganze! oder Der Streit um das Ziegenproblem. Hier also noch ein paar Denkanregungen zum Thema:

    nach Gero von Randows "Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten."
    erschienen im Rowohlt TB-V. 1992, ISBN 3-499-19337-X, Preis DM 14.90, 176 Seiten


    GESCHICHTE

    Der Ursprung

    Gero von Randow schreibt:

    Das ist vielleicht ein Gefühl, in Hunderten von Briefen als Spinner oder Dummkopf beschimpft zu werden! Dabei hatte alles so harmlos angefangen.
    An einem Samstag im Sommer saß ich abends spät im Garten, entkorkte eine Flasche und schlug den Skeptical Inquirer auf, mein Lieblingsblatt aus den USA: Wissenschaftler und Journalisten gehen darin den Behauptungen von Tischrückern, Gabelbiegern, Geistersehern und anderen Scharlatanen nach. Mich interessierte ein Artikel über die amerikanische Journalistin Marilyn vos Savant. Sie gilt als der Mensch mit dem höchsten Intelligenzquotienten der Welt, was immer das bedeuten mag.
    Mit der Lösung einer Denksportaufgabe in ihrer Kolumne «Fragen Sie Marilyn» hatte sie eine Lawine hämischer bis empörter Leserbriefe losgetreten. Die Lösung, vorgestellt in der Zeitschrift Parade, widersprach nämlich der Intuition ihrer Leserschaft, darunter viele Mathematiker.

    Die Aufgabe

    Gero von Randow schreibt:

    Ein Leser hatte folgende Aufgabe gestellt:

    Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten «Ich zeige Ihnen mal was» öffnet er eine andere Tür, zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: «Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?»

    Zwei Türen, hinter einer steckt der Gewinn. Also bleibt es sich gleich, welche gewählt wird, nicht wahr? Falsch, sagt die IQ-Weltmeisterin, Nummer zwei hat bessere Chancen.
    Da war es: das Ziegenproblem.

    Die Reaktion

    Gero von Randow schreibt:

    Das konnte ich nicht für mich behalten (Berufskrankheit). Ich setzte mich also hin (am Sonntagmorgen) und schrieb einen kleinen Artikel für Die Zeit, in dem ich das Ziegenproblem und dessen Lösung präsentierte. Am nächsten Tag fuhr ich in Urlaub. Und so begrüßten mich die Leser-Zuschriften, als ich zurückkam: Der verehrte Herr von Randow sei «wohl ins Sommerloch gestolpert», «jeder normalbegabte Zwölftkläßler» könne schließlich begreifen, daß Frau Savants Rat «typische Laienfehler» enthalte, «haarsträubender Unsinn», «Quatsch» und «Nonsens», «absurd» und «abstrus» sei. Es sei «traurig, daß Die Zeit so etwas überhaupt aufgreift». Die ganze Angelegenheit sei «peinlich», urteilte ein Mathematiker. Bestenfalls ein «Aprilscherz im Juli», schrieb ein Leser mitleidig, eher ein «Ärgernis», meinte ein anderer. Die alles dies zu Papier brachten, waren zum großen Teil Akademiker, einige mit einschlägiger Ausbildung in Statistik: Prof. Dr.-ing., Dr.sc.math., Dr. med., Dr.jur. usw. usf. Sie schrieben auf Institutsbriefbögen, legten seitenlange Beweise bei, es kam sogar Post aus den Niederlanden, aus Italien, aus Togo. Zustimmende Briefe blieben rar. Die Leserbrief-Redaktion wählte drei Briefe aus, die mich kritisierten, und ließ sie unter der Überschrift «Verquere Logik» drucken. Das mochte ich nicht auf mir sitzen lassen und schrieb einen zweiten Artikel. Wieder nahm ich für Frau Savant Partei - und entfachte den zweiten Sturm. Mittlerweile hatte Der Spiegel dieGeschichte aufgegriffen, gab ebenfalls Frau Savant recht und bescherte sich die entsprechende Leserpost.
    Das Ziegenproblem hielt offenbar viele Menschen in Atem. Feten platzten, und Ehepaare stritten sich. Professoren setzten ihre Assistenten an das Ziegenproblem, Mathe-Lehrer verwirrten ihre Schüler, Zeitungsredakteure erklärten sich gegenseitig für begriffsstutzig.

    FINDE DIE LÖSUNG

    Ausprobieren

    Zum Nachspielen der Situation brauchst du keine Ziegen und erst recht kein Auto. Es genügen drei Spielkarten (z.B. 7, 7, Ass) und ein Spielleiter.

    Eine Abwandlung des Spiels

    Die gleiche Situation, nur anstatt drei verschlossenen Türen gibt es 100. Hinter 99 sind Ziegen, hinter einer das Auto.
    Eine Tür wird ausgewählt, danach öffnet der Moderator 98 Türen hinter denen Ziegen stehen.
    Würdest du umwählen? Warum?
    Wo sind die Parallelen zum ursprünglichen Problem? Welche Gedanken kann man übertragen?

    Alle möglichen Fälle betrachten

    Probiere einfach alle möglichen Fälle durch. Nimm dabei an, dass der Kandidat immer zuerst die linke Tür wählt.
    Unterscheide nun die Fälle:
    Das Auto ist links
    Das Auto ist in der Mitte
    Das Auto ist rechts
    Wahrscheinlichkeitsbetrachtung

    Die Wahrscheinlichkeit, schon beim ersten Tipp das richtige Tor zu wählen ist 1/3. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für die beiden anderen zusammen 2/3.
    Ändert sich durch Öffnen eines Tores etwas an dieser Verteilung?
    Bezieht sich die Information, die der Spielleiter durch Öffnen des einen Tores gibt, auf alle drei Tore, oder nur auf die beiden nichtgetippten Tore?
    Für eines der nichtgetippten Tore ist die Wahrscheinlichkeit durch Öffnen jetzt null. Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit des anderen Tores?

    Einwände

    Wenn du wie Frau Savant der Meinung bist, dass der, der umwählt bessere Chancen hat, dann widerlege folgende Einwände:
    Wenn ich das starke Gefühl habe - und das täuscht selten - , dass das Auto hinter "meiner" Tür ist, warum sollte ich dann dem Rat folgen und umwählen? Denn wenn mein Gefühl dann doch Recht hat, würde ich mich fürchterlich ärgern!
    [Tipp: Erst denken/fühlen, dann wählen!]
    Zwei Kandidaten A und B wählen: A wählt 1, B wählt 2, Spielleiter öffnet 3. Wieso sollte wechseln (für beide) jetzt günstiger sein?
    Nach dem Öffnen der Tür kann sich ein Kandidat nicht entscheiden, traut auch Frau Savant nicht recht. Deshalb wirft er die Münze, um zu entscheiden welche Tür er wählen soll. Der Wurf entscheidet also zwischen den Varianten wechseln und nicht wechseln. Der Kandidat gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Deshalb sind beide Varianten gleichwahrscheinlich.
    Der Kandidat wählt die Tür 1. Nun gibt es vier Fälle:

    Fall AutoNr. M öffnet Nr. Richtige Strat.
    (i) 1 2 (NW)
    (ii) 1 3 (NW)
    (iii) 2 3 (W)
    (iv) 3 2 (W)



    Also stehen die Chancen fifty-fifty!



    Links zu diesem Thema gibt es hunderte. Hier nur zwei:
    www.mathematik.Uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/ziegen
    von Robert Koch; enthält auch interessante Varianten und eine Verallgemeinerung
    www.mightymueller.de/mathe/kneipe/ziege/ziegenproblem.html
    von mightymueller mit ausführlicher Lösung

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    (4.1/5)   5 Votes
  8. IceAlien 28.10.04 16:06

    Und Frau Savant hat doch Recht. Man braucht auch gar keine langen Wahrscheinlichkeitsberechnungen oder 99 Türen, um es zu erklären: Mit der Auswahl meines Tores und Starrköpfigkeit (d.h. nicht wechseln), decke ich sozusagen EIN Tor von dreien ab, d.h. 1/3. Wenn ich mir aber sage, ich werde jetzt eins wählen und wechsele dann auf jeden Fall, ist es als ob ich ZWEI Tore wählen dürfte, d.h. 2/3. Ich wähle immer "Mein erstes Tor" oder "die beiden anderen Tore". Der Moderator wird ja nie das Tor mit dem Gewinn öffnen, sondern immer die Niete. Wenn also hinter einer der beiden Türen, die ich nicht gewählt hatte, der Gewinn ist, werde ich ihn bekommen. Also ist der Wechsel wie die Wahl von zwei Toren gleichzeitig und damit natürlich günstiger!!!

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  9. eri... 29.10.04 00:59

    Hi Ice Alien.

    die Chancen stehen 50 zu 50. Daher ist es egal, ob man umwählt oder nicht!!!

    Also noch mal:

    3 Tore: A, B und C.

    Ich wähle angenommen A. Jörg öffnet meinetwegen C. Nun ist der Gewinn in A oder B. Ob ich bin wechsle oder nicht ist egal, denn ich weiss doch nicht, wo der Gewinn ist!!! Die Chance, den Gewinn zu kassieren stehen 50 zu 50!

    Nix mit 1/3 oder 2/3...

    Oder besser gesagt, die Wkt. richtig zu liegen erhöhte sich von 1/3 auf 1/2, was aber nicht heisst das es besser ist zu wechseln!

    Gruss

    Viet

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    (4.2/5)   5 Votes
  10. eri... 29.10.04 01:00

    Korrektur: Die Chance, den Gewinn zu kassieren liegt bei 50%

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  11. zahlstocher 20.07.05 11:35

    Nur in dem Fall, dass ein Kandidat OHNE KENNTNIS DER VORGESCHICHTE nach dem Öffnen der Ziegen-Tür zum Spiel zugelassen wird, er also OHNE VORWISSEN zwischen zwei Türen wählt, gilt eine fity-fity Chance. Jede der zwei verbliebenen Türen verspricht die gleiche Gewinnchance.
    MIT VORWISSEN kann sich der Kandidat eben doch eine höhere Gewinnchance durch den Wechsel ausrechnen! Durch das Vorwissen, dass der Gewinn mit 2/3 Wahrscheinlichkeit hinter den beiden nicht ausgewählten Türen steckt, kann man für die zuerst ausgewählte Tür NIEMALS

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  12. zahlstocher 20.07.05 11:36

    Nur in dem Fall, dass ein Kandidat OHNE KENNTNIS DER VORGESCHICHTE nach dem Öffnen der Ziegen-Tür zum Spiel zugelassen wird, er also OHNE VORWISSEN zwischen zwei Türen wählt, gilt eine fity-fity Chance. Jede der zwei verbliebenen Türen verspricht die gleiche Gewinnchance.
    MIT VORWISSEN kann sich der Kandidat eben doch eine höhere Gewinnchance durch den Wechsel ausrechnen! Durch das Vorwissen, dass der Gewinn mit 2/3 Wahrscheinlichkeit hinter den beiden nicht ausgewählten Türen steckt, kann man für die zuerst ausgewählte Tür NIEMALS eine andere Wahrscheinlichkeit annehmen als 1/3!

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  13. squ... 20.12.04 16:16

    Du hast 3 Türen A,B,C. Es sei angenommen, dass das Auto hinter A steht.

    Jetzt hast Du 3 Möglichkeiten.
    1. Du wählst Tür A.
    2. Du wählst Tür B.
    3. Du wählst Tür C.

    Alle Varianten sind offensichtlich gleichwahrscheinlich, also 1/3.

    Was passiert bei "Strategie Wechseln"?
    1. Du verlierst.
    2. Du gewinnst.
    3. Du gewinnst.

    (Das Handeln des Moderators ist prädestiniert, dadurch ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Fälle nicht.)

    Also gewinnst in Du in 2 von 3 Fällen un damit beträgt die Wahrscheinlichkeit 2/3, das Auto zu gewinnen, wenn Du Deine Meinung änderst.

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  14. Ret... 23.02.05 18:15

    Entscheidend ist der Punkt, dass der Moderator weiß, hinter welchem Tor der Gewinn ist. Dadurch erhält das Öffnen des einen Tores einen Informationswert. Und damit wie man so schön neudeutsch sagt, updatet der andere seine Beliefs.
    Wer die Lösung nicht glaubt mit 2/3 und 1/3 soll in ein Statistikbuch zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeiten, bzw. Bayesianisches Updating schauen!

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  15. Ret... 23.02.05 18:16

    Entscheidend ist der Punkt, dass der Moderator weiß, hinter welchem Tor der Gewinn ist. Dadurch erhält das Öffnen des einen Tores einen Informationswert. Und damit wie man so schön neudeutsch sagt, updatet der andere seine Beliefs.
    Wer die Lösung nicht glaubt mit 2/3 und 1/3 soll in ein Statistikbuch zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeiten, bzw. Bayesianisches Updating schauen!

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