Kamelrennen

Hi_Andy 29.07.10 13:43

Auf einem Spielbrett läuft ein schwarzes gegen ein weißes Kamel. Es gibt ausreichend viele Karten mit den Werten 1 bis 6. Aller Werte kommen gleich oft vor. Die Karten werden sorgfältig gemischt. Es werden pro Zug immer drei Karten aufgedeckt. Mit den Werten der beiden höchsten Karten wird das weiße Kamel vorwärts gezogen. Der Wert der niedrigsten Karte wird mit 4 multipliziert. Um dieses Ergebnis wird das schwarze Kamel vorgezogen. Wer gewinnt in der Regel das Rennen nach 247 Zügen?
-- Das weiße Kamel, das schwarze Kamel oder geht das Rennen unentschieden aus?
-- Wie viele Felder Differenz liegen am Ende des Rennens zwischen beiden Kamelen, wenn die Kartenverteilung exakt dem Durchschnitt entspricht? Oder ist die Differenz Null?

  1. _An... 29.07.10 17:31

    Der weiße Kamel gewinnt mit dem Vorspring von 432 Felder nach 247 Zügen.

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  2. _An... 29.07.10 17:38

    Lösung:
    Es sind 20 Kombinationen von 3 aus 6 Karten möglich.
    123
    124
    .....
    .....
    456


    Die Summe der ersten Spalte ist 35.
    Der black camel bekommt im Durchschnitt: 35*4/20= 7 Felder pro Zug.

    Die Summe der beiden letzen Spalten ist 175. So bekommt Der weiße Kamel:
    175/20=8,75 Felder pro Zug.
    7 Der weiße Kamel gewinnt.
    Vorsprung: 1,75*247=432 Felder

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  3. sudden 30.07.10 00:36

    m.M. nach hast du die Kombinationen
    nicht berücksichtigt:

    111
    112
    113
    114
    115
    116
    122
    133
    144
    etc.

    laut Definition gibt es "ausreichend viele
    Karten", d.h. bedingte
    Wahrscheinlichkeiten sind zu
    vernachlässigen.

    so gibt es nicht 20, sondern 56 mögliche
    Kombinationen.

    Das weiße Kamel kommt damit auf 8,25
    das schwarze Kamel auf 9 Felder pro
    Zug.

    Der Vorsprung des schwarzen beträgt
    0,75*432 Felder.

    Rechnungen siehe oben.

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  4. Hi_Andy 31.07.10 10:49

    1. Es gibt 56 Möglichkeiten, richtig. In der Kombinatorik "Kombination mit Zurücklegen" mit der Formel (n+k-1)!/(k!(n-1)!) mit n=6 und k=3.

    2. Das weiße Kamel kommt insgesamt auf 462/56=8,25 pro durchschnittlichem Zug (462=Summe aller Möglichkeiten von Weiß). Das schwarze auf 504/56=9.

    3. 247*(9-8,25)=185,25. Genau so weit war ich auch.

    Das Problem ist, dass das für mich keinen Sinn macht. Ich mache nämlich gerade ein Rätselbuch durch, wo die Antwort " schwarzes Kamel" für mich keinen Sinn macht. Deshalb habe ich gedacht, dass ich auf einem falschem Weg bin (hatte aber auch keine Idee für einen anderen Weg). Deshalb wollte ich Euch nach anderen Ideen Fragen. Aber wenn Ihr das auch so seht, dann muss irgendwo anders wohl ein Fehler sein.....

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  5. _An... 31.07.10 12:28

    "laut Definition gibt es "ausreichend viele
    Karten", d.h. bedingte
    Wahrscheinlichkeiten sind zu
    vernachlässigen."

    Ich gebe dir völlig recht.

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  6. Hi_Andy 31.07.10 14:14

    Vielen Dank Dir!

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  7. Tal... 01.08.10 14:18

    Hallo von einem Neuling.
    Ich habe mir die Aufgabe mal angeschaut und dazu folgende Anmerkungen.

    Meine Lösung ist: Das weiße Kamel gewinnt. Es bewegt sich durchschnittlich mit 8,4537 Felder pro Zug, das schwarze mit 8,1667 Feldern.
    Nach 247 Zügen haben sie also
    2088 bzw. 2017 Felder zurückgelegt. Das ergibt eine Differenz von 71 Feldern.

    Ich kann mich allerdings verrechnet haben (nicht unwahrscheinlich), daher folgt meine Herangehensweise nach den kurzen Anmerkungen zu euren:

    Es gibt tatsächlich 56 verschiedene Möglichkeiten für die Karten, allerdings sind die nicht gleichwahrscheinlich. Für jedes mal 666 kommt durchschnittlich 6mal die Kombination 123.

    Mit der Prämisse "ausreichend viele Karten" kann man also das Problem übersetzen in Folgendes:

    Man hat 3 faire 6-seitige Würfel (ab jetzt W6 genannt). Man würfelt diese 3 Würfel einmal und zieht das schwarze Kamel um das vierfache der kleinsten Augenzahl, das weiße Kamel um die Anzahl der größeren beiden Augenzahlen. (Würfel sind immer leichter zu veranschaulichen als das etwas seltsame "unendliche Karten" Beispiel)

    Dann ergeben sich folgende Lösungsschritte:

    Das Problem ist ein Laplace-problem (jedes Einzelergebnis ist gleichwahrscheinlich, dabei muss man natürlich die Reihenfolge beachten). Es gibt insgesamt 6^3=216 mögliche Ergebnisse für einen Wurf.

    Wichtige Zahlen zum Überprüfen von Zwischenergebnissen sind die 91, 61, 37, 19, 7, 1.
    Diese geben die Anzahl von Möglichkeiten an, dass die niedrigst vorkommende Zahl 1,2,3,4,5 oder 6 ist.

    Beweis: Es gibt 1 Möglichkeit, dass die niedrigste zahl die 6 ist.
    Es gibt insgesamt 2*2*2=8 Möglichkeiten für 3 Würfel nur Ergebnisse aus 5 und 6 zu haben. Damit gibt es 8-1=7 Möglichkeiten, dass mindestens eine 5 dabei ist.
    Es gibt insgesamt 3*3*3=27 Möglichkeiten für 3 Würfel nur Ergebnisse aus 4, 5 und 6 zu haben. 8 Fälle bestehen aus nur 5 oder 6en, also bleiben 19 Möglichkeiten für mindestens eine 4.
    Ebenso verfährt man weiter und erhält so den Rest.
    Kontrolle: 1+7+19+37+61+91=216.

    Damit kann man den Erwartungswert für die gezogenen Felder des schwarzen Kamels pro Zug recht einfach ausrechnen:
    In 1 Fall 4 Felder
    In 7 Fällen 8 Felder
    In 19 Fällen 12 Felder
    In 37 Fällen 16 Felder
    In 61 Fällen 20 Felder
    In 91 Fällen 24 Felder
    - 1*4+7*8+19*12+37*16+61*20+91*24=1764. Gibt also durchschnittlich 1761/216=8,1667 Felder pro Zug.

    Für Weiß hab ich das entsprechend umgekehrt aufgeschlüsselt:
    Fälle mit mind. 1 sechs:
    Mögliche Felderzahlen: 12,11,10,9,8,7 und Möglichkeiten dafür
    Fälle ohne 6, mind 1 fünf, ...
    Fälle ohne 5-6, mind 1 vier, ...
    Fälle ohne 4-6, mind 1 drei, ...
    Fälle ohne 3-6, mind 1 zwei, ...
    Fälle ohne 2-6, mind 1 eins.

    Entsprechend habe ich dann die durchschnittlichen Züge berechnet. Damit ergab sich 8,4538 und den Rest habe ich entsprechend berechnet.

    Entspricht das deiner Lösung oder habe ich zwischendrin meine Zahlen irgendwo verdreht? ;)

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  8. Anonym 02.08.10 12:42

    Talander, du bist der Killer! ;) Ich hatte bisher für dieses Rätsel keine Lösung. Aber ich bin mir sicher, dass deine Lösung stimmt. Mein Fehler war, dass ich mich auf die 56 Lösungsmöglichkeiten konzentriert hab. Ohne deine Leistung schmälern zu wollen, hast du in der Tat Zahlen verdreht. :) Die Fälle bei den schwarzen Kamelen bzw. bei der Multiplikation sind verdreht. Weil z.B. 91*24 schon mehr als 1764 ergeben. Aber das ist ja nur ein Schönheitsfehler und nicht weiter schlimm.

    Die Aufgabenstellung war exakt so mit Karten. Ich hab auch Würfel zur Hand genommen, da ich mir relativ sicher war, dass Schwarz nicht gewinnen kann. Ich habe daraufhin einen Feldversuch gestartet und hab 78mal die 3 Würfel rollen lassen, um einfach ein Gefühl zu bekommen. Warum 78 mal? Meine Seite war da zu Ende. ;) Und das Ergebnis war: Im Schnitt legt Weiß 8,48718 und Schwarz 8,20513 zurück. Krass wie nahe an dem Durchschnitt diese Lösung ist.

    Ich hoffe, dass das jetzt keine Werbung ist, aber ich mache nebenzu gerade ein Rätselbuch durch, das er absolute Wahnsinn ist (daraus diese Aufgabe). Von easy bis schwer ist alles dabei. Die Rätsel der Pyramide von W.Kramer. Kann ich nur empfehlen. Story ist zu vernachlässigen.

    In dem Sinne, bis dann......

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