Wieviele Dreien?

Mic... 09.11.02 10:34

Wieviel Prozent der natülichen Zahlen enthalten mindestens einmal die Ziffer "3"?

  1. Mic... 29.10.04 17:21


    Ich weiss nicht...

    Was ist denn Q(n) für n--unendlich?

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  2. bal... 18.10.05 11:25

    Natuerlich ist die Antwort: 100%
    Die Begruendung ist so, wie Michael sie geschrieben hat. Aufsummieren wie bei HSGler macht keinen Sinn, sondern wir lassen 0 als erste Ziffer zu, so dass eine n-stellige Zahl (erste Ziffer ungleich 0) auch als (n+m)-stellig aufgefasst werden kann.
    Dann ist eben die Wahrscheinlichkeit, dass eine n-stellige Zahl keine drei enthaelt (9/10)^n, und das geht gegen 0.

    Zum "finiten Konzept": Die Frage lautet eigentlich: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufaellig gewaehlte nat. Zahl eine drei enthaelt (und runden Sie auf Prozent).
    Wahrscheinlichkeiten sind kein finites Konzept, und es ist bekannt, dass Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht unbedingt eintreten muessen, wenn der Ergebnisraum unendlich gross ist (Stichwort: Nullmengen).
    Ciao, A.

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  3. coq... 14.12.06 22:46

    denke dein Vorgehensweise ist richtig.. aber leider falsches Resultat.. du kannst mit n=2 /3 in deinem Q(n) aus probieren...

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  4. coq... 14.12.06 22:53

    wenn mann mit n-stelliger nummer ausrechnet
    kommt (10^n -9^n+1) /10^n also 100%.. ist einfach aber ein bisserl verwirrend!!:-P

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  5. Ina... 06.10.09 18:27

    Jetzt habe ich mich mal daran versucht und kann vorab BESTätigen, dass es gegen 100% konvergiert. Allerdings ist mein Ansatz etwas anders. Denn ich versuche zunächst herauszufinden, wie oft die 3 NICHT vorkommt. Schauen wir uns das mal an:

    sagen wir mal, dass die Zahl 0 auch dazu zählt, dann erhalten wir in in dem Intervall zwischen 0 bis 99 einschließlich insgesamt 81 Folgen OHNE die 3. Das kann man durchzählen oder aber auch in eine Formel übertragen. dazu füllen wir bei der betrachtung dieser 100 zahlen die ersten Stellen mit einer 0 auf, so dass die erste Zahl mit einer 3 dann die 003 wäre. Daraus ergeben sich 99 weitere möcglichkeiten, wobei sie jeweils die Wsk von 9/10 haben, auch eine 3 zu beinhalten. Daraus ergibt sich folgende Formel:

    [9*(9/10)^1]/10^1 = 81% also 19% eine 3

    weiten wir das mal einmal aus auf das Intervall 0-999.999, dann folgt:

    [999.999*(9/10)^6]/1.000.000 = 53,144% also ca 46,8..% eine 3. Die Tendenz ist also steigend.

    Wenn wir die Formel verallgemeinern möchten gilt für das unendliche Intervall (kurz: #) und die Potenz p:

    [(#-1)*(9/10)^p]/#

    dass man den limes von #-1 und # gegeneinander kurzen kann. Somit verbleibt nur noch als Prozentsatz (9/10)^p diese Zahl konvergiert bei steigendem p gegen null. Im Umkehrschluss folgt, dass je höher die betrachtete Zahl ist, umso unwahrscheinlicher ist es, dass die Zahl 3 NICHT vorkommt und demnach die Zahl 3 fast zu 100% vorkommt. Dieser Sachverhalt ist logisch, da man davon ausgehen kann, dass in einem System, wo jede natürliche Zahl auch vorkommen kann, diese auch immer vorkommen wird.

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  6. Ina... 06.10.09 18:29

    Jetzt habe ich mich mal daran versucht und kann vorab BESTätigen, dass es gegen 100% konvergiert. Allerdings ist mein Ansatz etwas anders. Denn ich versuche zunächst herauszufinden, wie oft die 3 NICHT vorkommt. Schauen wir uns das mal an:

    sagen wir mal, dass die Zahl 0 auch dazu zählt, dann erhalten wir in in dem Intervall zwischen 0 bis 99 einschließlich insgesamt 81 Folgen OHNE die 3. Das kann man durchzählen oder aber auch in eine Formel übertragen. dazu füllen wir bei der betrachtung dieser 100 zahlen die ersten Stellen mit einer 0 auf, so dass die erste Zahl mit einer 3 dann die 003 wäre. Daraus ergeben sich 99 weitere möcglichkeiten, wobei sie jeweils die Wsk von 9/10 haben, auch eine 3 zu beinhalten. Daraus ergibt sich folgende Formel:

    [9*(9/10)^1]/10^1 = 81% also 19% eine 3

    weiten wir das mal einmal aus auf das Intervall 0-999.999, dann folgt:

    [999.999*(9/10)^6]/1.000.000 = 53,144% also ca 46,8..% eine 3. Die Tendenz ist also steigend.

    Wenn wir die Formel verallgemeinern möchten gilt für das unendliche Intervall (kurz: #) und die Potenz p:

    [(#-1)*(9/10)^p]/#

    dass man den limes von #-1 und # gegeneinander kurzen kann. Somit verbleibt nur noch als Prozentsatz (9/10)^p diese Zahl konvergiert bei steigendem p gegen null. Im Umkehrschluss folgt, dass je höher die betrachtete Zahl ist, umso unwahrscheinlicher ist es, dass die Zahl 3 NICHT vorkommt und demnach die Zahl 3 fast zu 100% vorkommt. Dieser Sachverhalt ist logisch, da man davon ausgehen kann, dass in einem System, wo jede natürliche Zahl auch vorkommen kann, diese auch immer vorkommen wird.

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  7. MathCoachConsult 18.07.10 14:56

    Die obigen Lösungsansätze sind m. E. alle nicht angemessen. Der Fehler liegt allerdings schon in der Fragestellung, worauf bereits einige hingewiesen haben.

    Denn die Aufgabe fragt nach einem Prozentwert, der sich auf einen "unendlichen" Grundwert bezieht - etwas präziser: auf einen Grundwert, der keine reelle Zahl ist. Das ist im Konzept der Prozentrechnung nicht definiert. Die Frage ist deshalb mathematisch nicht richtig gestellt und hat deshalb auch keine (eindeutig wahre) Antwort. Die im squeaker-Buch angebebene Lösung "nahezu 100%" ist entweder sinnlos oder falsch.

    Ebensowenig kann man die Frage ohne weiteres wahrscheinlichkeitstheoretisch verstehen, wie oben jemand schrieb, etwa: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine zufällig gewählte natürliche Zahl eine "Drei" (in ihrer Dezimaldarstellung)?"

    Da die Grundgesamtheit nicht endlich ist, kann man den Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace nicht anwenden (oder erhält wahlweise die triviale Wahrscheinlichkeit 0). Auch eine Verallgemeinerung analog zum Konzept der geometrischen Wahrscheinlichkeit gelingt m. E. nicht. Man müßte also zunächst einmal einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum definieren. Hier bin ich auf Ideen gespannt. Letztlich ist das natürlich nicht die vom Aufgabensteller gesuchte Lösung.

    Was sich allerdings ohne eigene Konstrukte mathematisch präzise sagen läßt, ist dies: Es gibt genau so viele natürliche Zahlen, die in ihrer Dezimaldarstellung mindestens eine "Drei" beinhalten, wie natürliche Zahlen überhaupt. Wenn dies klar ist, kann man sich natürlich darauf einigen, salopp davon zu sprechen, daß der Anteil "genau 100%" betrage. Dann aber eben GENAU und nicht nur "nahe" oder in Konvergenz usw.

    Übrigens ist es nicht richtig, wie oben jemand schrieb, dass eine Menge immer mächtiger ist als eine ihrer echten Teilmengen. Das gilt nur für endliche Mengen. Bei abzählbar-unendlichen Mengen wie der Menge der natürlichen Zahlen gilt im Gegenteil, dass jede unendliche Teilmenge die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge selbst. Um ein anderes Beispiel zu bringen: Salopp (aber rigoros formulierbar) ausgedrückt gibt es genausoviele ungerade Zahlen wie natürliche Zahlen. Es gibt auch genausoviele Prinzahlen wie natürliche Zahlen. Usw.









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  8. Squ... 04.12.12 17:03

    Wenn n für die Zehnerschritte steht kann man den prozentualen Anteil mit folgender Formel bestimmen:

    "Prozentualer Anteil für die Zahlen bis 10^n" = 1- (9^n/10^n)

    Für n gegen Unendlich konvergiert der hintere Teil der Formel gegen Null

    - prozentualer Anteil geht daher gegen 100 %

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