Noch ein Wiegespielchen

Mic... 19.12.00 11:47

Man hat 12 Kugeln, eine hat ein abweichendes Gewicht. Dazu eine Balkenwaage, die für 3 Wiegevorgänge benutzt werden kann. Wie findet man die abweichende Kugel und dabei auch heraus, ob sie leichter oder schwerer ist?

  1. BSc... 29.12.00 11:59

    Auch nicht wesentlich anders:

    1. Man lege je 6 Kugeln auf eine Seite der Waage.

    2. Man verteile die 6 Kugeln der schwereren Seite zu je 3 Kugeln auf die Waage.

    3. Von den 3 Kugeln der schwereren Seite nehme man 2 beliebige Kugeln und lege je eine auf jede Seite der Waage. Ist eine der beiden schwerer, sind wir glücklich, sind sie im Gleichgewicht dann ist es wohl die 3. Kugel.

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  2. Anonym 29.12.00 16:10

    Ich glaube, dass du die Bedingungen mit deinem Lösungsweg nicht erfüllst.
    1. Die Kugel kann entweder schwerer oder leichter sein: Du kannst nicht automatisch die schwereren sechs Kugeln nehmen.
    2.Genau dieselbe Vereinfachung, du gehst davon aus, dass die gesuchte Kugel schwerer ist.
    3.Mit dieser Art zu wiegen findest du nicht heraus, ob die Kugel
    schwerer oder leichter ist - du findest die Andersartigkeit der Kugel nicht heraus.
    Es ist vermutlich ein kleiner mathematischer Trick dabei, ich werde mir mal Gedanken machen.

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  3. Anonym 30.12.00 17:49

    Jaaaaa, ich habe es und das hat gar nicht so lange gedauert.
    Die Erklärung wird nur ziemlich lang.

    1. 4 Kugeln auf jede Seite (Kugeln durchnummerieren von 1-8!)
    - 1. Fall: 1. Seite schwerer 1234 schwerer als 5678
    2. Auf die eine Seite 125 auf die andere Seite 346
    ----1. Variante 125schwererals346, d.h entweder ist 6 leicht oder 1 oder 2 schwer also wider 1 und 2 wiegen und Ergebnis ablesen.

    Leider reicht wahrscheinlich der Platz nicht um alle Varianten durchzuspielen, aber die Methode ist relativ einfach...

    1.Schritt: 4 auf jede Seite
    2.Schritt: falls Ungleichgewicht Kugeln neuverteilen und 3 auf jede Seite und
    3. Schritt: Die beiden Kugeln, die entweder beide leichter oder schwerer sein können miteinander vergleichen...
    2. Schritt: falls Gleichgewicht 3 noch nicht gewogene Kugeln auf eine Seite und 3 "neutrale" Kugeln auf die andere Seite. Bei Gleichgewicht, beim Dritten Wiegen die Übrige mit einer neutralen vergleichen ansonsten 2 "verdächtige Kugeln" vergleichen

    Zum Schluß noch eine prise logisches Denken und man erhält die schwere bzw. leichtere Kugel.

    Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit und entschuldigt die komplizierte Erklärung

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  4. Anonym 01.01.01 19:18

    Es gibt noch eine einfachere Erklärung, die zumindest in 75%
    der Fälle greift und auf jeden Fall die in Frage kommende
    Kugel feststellt. Sollte ich noch einen Trick finden, das schwerer/
    leichter-Problem zu lösen (in den restlichen 25%) setzte ich es rein ansonsten nehmt die obige Lösung als einzige und vergesst das hie

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  5. Anonym 16.01.01 18:17

    Luoar, Deine Antwort ist völlig korrekt, während man mit der Antwort von BSchmaus überhaupt nicht weiter kommt. Andre, es gibt da auch keinen Trick, das schwerer-leichter Problem zu lösen. Der Trick ist nicht, gleichschwere Kugeln zu eliminieren und am Ende eine Kontrollwiegung mit einer der gleichschweren Kugeln durchzuführen, sondern dies, wie luoar, schon während des Wiegens zu tun.

    Ich finde dieses Problem übrigens nicht gerade einfach. Für wie viele Kugeln maximal kann man eigentlich das Problem in 4 Zügen lösen? Was meint ihr?

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  6. Anonym 17.04.01 22:18

    Interessante Frage. Ich setzte mal so an.

    In den drei Wiegungen habe ich 12 Bit Information gewonnen (11 Bit für 11 Kugeln ob normalgewichtig, 1 Bit ob leichter oder schwerer. Wenn die ersten 11 Bit gleich 0 sind, dann ist die zwölfte Kugel abweichend), d.h. ich muss 4 Bit Information je Wiegevorgang gewonnen haben, also mindestens 16 Fälle je Wiegevorgang ausschließen.

    Z.B.: Im ersten Schritt 4 gegen 4 gewogen

    - Gleichschwer: Bit 1-7 sind Null
    - Ungleich: Bit 8-11 sind Null

    Angenommen, ich könnte immer 4 Bit Information gewinnen können je Wiegung, könnte ich mit n Wiegungen 4*n Bit Information gewinnen oder 4*n Kugeln auswiegen.

    Ich vermute aber, das die Informationsgewinnung durch einen einzlenen Wiegeakt mit der Anzahl der ausgewogenen Kugeln und der gesamten Kugeln steigt, so das das eine Untergrenze darstellt.

    Wenn ich zB 10 gegen 10 (von 30 Kugeln) wiege, dann ist mein Informationsgewinn:

    - Bei Gleichgewichtigkeit 20 Bit
    - Bei Ungleichgewichtigkeit 10 Bit.

    Frage: Wie ist der Informationsgewinn von der Stufe n abhängig?

    M.

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  7. Anonym 17.04.01 23:01

    Interessante Frage. Ich setzte mal so an.

    In den drei Wiegungen habe ich 12 Bit Information gewonnen (11 Bit für 11 Kugeln ob normalgewichtig, 1 Bit ob leichter oder schwerer. Wenn die ersten 11 Bit gleich 0 sind, dann ist die zwölfte Kugel abweichend), d.h. ich muss 4 Bit Information je Wiegevorgang gewonnen haben, also mindestens 16 Fälle je Wiegevorgang ausschließen.

    Z.B.: Im ersten Schritt 4 gegen 4 gewogen

    - Gleichschwer: Bit 1-7 sind Null
    - Ungleich: Bit 8-11 sind Null

    Angenommen, ich könnte immer 4 Bit Information gewinnen können je Wiegung, könnte ich mit n Wiegungen 4*n Bit Information gewinnen oder 4*n Kugeln auswiegen.

    Ich vermute aber, das die Informationsgewinnung durch einen einzelnen Wiegeakt mit der Anzahl der ausgewogenen Kugeln und der gesamten Kugeln steigt, so das das eine Untergrenze darstellt.

    Wenn ich zB 10 gegen 10 (von 30 Kugeln) wiege, dann ist mein Informationsgewinn:

    - Bei Gleichgewichtigkeit 20 Bit
    - Bei Ungleichgewichtigkeit 10 Bit.

    Frage: Wie ist der Informationsgewinn von der Stufe n abhängig?

    M.

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  8. Mic... 09.07.02 22:30

    Master,

    ich habe mir heute noch einmal auf der Heimfahrt von der Arbeit auf dem Fahrrad etwas zu deiner Frage überlegt, wieviele Kugeln man mit 4 Wiegungen theoretisch auswiegen könnte (ich bin wohl arbeitstechnisch nicht ganz ausgelastet...)

    Ich nehme erst einmal alles zurück, was ich in einem leichten Anfall von Konzentrationslosigkeit oben geschrieben habe. Der Informationgehalt, welche Kugel schwerer bzw leichter ist, ergibt sich aus den 24 möglichen Fällen als

    ld(24) = 4,58 Bit oder allgemein
    ld(2*k) Bit bei k Kugeln.

    (ld ist der Logarithmus zur Basis 2).

    Der Informationsgewinn je Wiegung ist maximal

    ld(3) = 1,58 Bit

    wenn alle 3 Ausgänge der Wiegung gleichwahrschinlich sind (Deshalb ist das Wiegen von je einer Kugel gegeneinander ineffizient, da der Ausgang gleichschwer sehr viel wahrscheinlicher ist als ein anderer).

    Bei 3 Wiegungen ist also der maximale Informationsgewinn

    3 * ld(3) = 4,75 Bit.

    Die Aufgabe ist also gerade lösbar. Für n Wiegungen ist der maximal erzielbare Informationsgewinn.

    n * ld (3)

    bzw. für 4 Wiegungen

    4 * ld(3) = 6,33 Bit

    Wieviele Kugeln können ausgewogen werden?

    ld(2*k)
    Nach endlich vielen trivialen Umformungen ergibt sich:

    k k
    also 40 Kugeln.

    Wer will es probieren?

    :-)

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  9. Anonym 10.02.05 13:31

    kp

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